Fourier no dia a dia

Fourier, transformada de Fourier, tempo e frequência, resposta em frequência, todo um susto para muitos de nós, iniciados ou leigos. No entanto, são conceitos que utilizamos todos os dias.
Quando dizemos que temos um almoço com um determinado grupo uma vez por semana, estamos a fazer uma definição no domínio das freqências!
Sendo a frequência o número de vezes que um evento ocorre por unidade de tempo, é fácil calculá-la. Neste exemplo, se a unidade de tempo for o dia, será 1/7 por dia. Se for a semana, será 1 por semana. Se for o segundo, será 1/7*86400 Hz (a unidade de medida seria o hertz, unidade de medida de frequência do sistema internacional de medidas).
Familiarmente, a electricidade que usamos em nossa casa é proveniente de uma fonte periódica com a frequência de 50 Hz, ou seja, que se repete 50 vezes por segundo.
Claro que a frequência com que ocorre um evento não nos permite localizá-lo no domínio dos tempos. Uma vez por semana? Mas em que dia? Falta o conceito de fase, que tipicamente se exprime como uma fracção do período, ou sob a forma de um ângulo: um período serão 360º ou 2*pi radianos.
No nosso exemplo rudimentar, se a semana se iniciasse à segunda-feira, um evento nesse dia teria fase 0, no dia seguinte, teria fase 1, etc.
A nossa agenda electrónico funciona mais ou menos assim. Existe um registo dos eventos recorrentes, em termos de frequência e fase, mas que queremos depois visualizar no domínio dos tempos. Por exemplo, aqui temos 3 eventos, um todas as semanas, à quarta-feira, outro de duas em duas semanas, à quinta-feira da primeira semana, e um terceiro, de quatro em quatro semanas, à quinta-feira da segunda semana:

Do nosso ponto de vista, interessa-nos normalmente visualizar a agenda no domínio dos tempos

(aqui, só uma vista de seis semanas consecutivas, a partir de uma origem dos tempos arbitrária), e não parece difícil fazer esta conversão. Mas realmente fez-se uma transformada de Fourier inversa!
A transformação no domínio oposto, do tempo para a frequência, seria neste caso mais complicada, mas realmente foram estes problemas que apaixonaram Fourier e Laplace, com os registos das passagens dos astros e a tentativa de os simplificar...