O mapa logístico

O mapa logístico é a equação recursiva
     x(n) = rx(n-1)[1-x(n-1)]
com r no intervalo [0, 4] e condição inicial x(0) entre 0 e 1, e costuma ser usado para modelizar crescimentos exponenciais em que se considera a condição de a população ser finita.

A população total é 1 e r representa a taxa de crescimento. Neste exemplo, fizemos x(0) = 0.001 e r=1.04, isto é, um milésimo da população afectada e taxa de crescimento 4%.

Uma propriedade desta equação é que, para r no intervalo [1, 2], a população tende para (r-1)/r, independentemente do valor inicial x(0). Neste caso, aproximadamente 0.04.

Para outros valores de r, nomeadamente no intervalo [3,4], esta equação assume um comportamento caótico. Veja-se o caso em que r=3.6

Há muitas situações que podem ser modelizadas pelo mapa logístico, sempre que se misture quem escolhe de acordo com a maioria e quem escolhe de acordo com a minoria: eu escolho um curso porque muitos escolhem e eu não escolho um curso porque muitos escolhem, eu vou pelo caminho A porque a maioria vai e eu não vou pelo caminho A porque a maioria vai, etc.

Estes comportamentos são potencialmente geradores de situações caóticas.
Esta figura muito conhecida mostra o valor para que tende x(n) em função do valor de r

e revela aquele ponto de bifurcação a partir do qual o sistema se torna caótico. Ver, por exemplo, aqui.