Mais passeios aleatórios

Na última publicação, analisamos um problema de passeios aleatórios, que podemos traduzir nesta figura

Distância ao nó 6 (passeio aleatório)

em que temos um grafo com 6 nós e as distâncias que um viajante aleatório colocado num dos outros nós teria de percorrer em média para chegar ao nó 6.

Estes números costumam causar um certo desconforto, por chocarem com a nossa intuição, mas não deixam de ser verdade...

E se os seis nós estivessem em linha? As equações seriam

6 nós em linha

T5 = [1 + (1 + T4)] / 2

T4 = [(1 + T5) + (1 + T3)] / 2

T3 = [(1 + T4) + (1 + T2)] / 2

T2 = [(1 + T3) + (1 + T1)] / 2

T1 = 1 + T2

e eliminado sucessivamente T1, T2, T3 e T4

T2 = [(1 + T3) + (1 + 1 + T2)] / 2

T2 = 3 + T3

T3 = [(1 + T4) + (1 + 3 + T3)] / 2

T3 = 5 + T4

T4 = [(1 + T5) + (1 + 5 + T4)] / 2

T4 = 7 + T5

T5 = [1 + (1 + 7 + T5)] / 2

T5 = 9

e daqui que todas as distâncias que teriam de ser percorridas em média por um viajante colocado num nó de partida qualquer para chegar ao nó 6 serão as indicadas na figura a seguir

Distância ao nó 6 (passeio aleatório)

E se tivermos uma fila com N nós? Que distância teria de percorrer em média um viajante aleatório para vencer essa distância? Será (N - 1)^2?

Outra questão diferente será saber quantas vezes o viajante passou por cada nó, em média. No layout de um museu, ou de um espaço comercial, onde as pessoas se movam com alguma aleatoriedade, esse valor pode ser uma medida da qualidade da sua localização.

Fica o desafio.

Aprender a contar

Contar, contar o número de elementos de um conjunto, o número de vezes que um ciclo se realiza, o número de soluções de um problema, etc. é a Informática de todos os dias. Daí a importância da Matemática Discreta nos planos de estudo de Informática e de Engenharia Informática.
Brincava há alguns dias com um amigo, professor de Matemática no ensino secundário, sobre esta questão, e sobre como este tópico é aí abordado. Tanto quanto percebi, não é tratado autonomamente, mas sim dissimulado no estudo das probabilidades. A ser assim, é mau, por muitas razões.
O problema de partida era muito simples: de quantas maneiras diferentes se podem distribuir dez rebuçados iguais por três taças, admitindo-se que uma ou mais podem ficar vazias?
A solução mais simples para este problema resulta da observação desta figura

Se lermos os rectângulos azuis como separadores e os rectângulos laranja como rebuçados, a figura corresponde à hipótese 2+4+4, e entende-se facilmente que haverá tantas formas diferentes de distribuir os dez rebuçados pelas 3 taças como as de colocar os dois separadores numa fila de 12 elementos.
Como há 12 hipóteses para colocar o primeiro separador e 11 para colocar o segundo, e a ordem dos separadores não conta, há no total 12x11/2 = 66 formas diferentes.
Uma variante deste problema será: de quantas formas diferentes pode um treinador de futebol posicionar os seus 10 jogadores de campo pelas três posições possíveis, defesa, médio e avançado, sabendo que em cada posição têm de jogar pelo menos 2 jogadores?
Neste caso, só há na realidade quatro jogadores livres, que é necessário arrumar pelas 3 posições (2 separadores), pelo que haverá 6x5/2=15 possibilidades diferentes! Ver para crer:

São estas as brincadeiras que nos fazem pensar nos porquês...

Contar quadrados...

Uma versão ligeiramente diferente de um problema antigo.
Olhemos para o quadrado da figura abaixo, que tem uma área de 8x8=64 quadrados unitários.

Se o recortarmos em quatro peças, conforme assinalado e rearrumarmos as peças de acordo com a sua posição no rectângulo representado, verifica-se que obtemos uma figura com uma área de 5x13=65 quadrados unitários! Apareceu um quadrado!

Qual é a explicação? Deixo aqui o desafio...