Dois dados equitativos

O Público de ontem pergunta-nos se será possível numerar as faces de dois dados de modo que as somas das faces variem entre 1 e 12 e sejam todas igualmente prováveis.
Com dois dados normais, os 6x6 = 36 resultados possíveis não são igualmente prováveis. Basta listá-los todos e contá-los. Podemos utilizar um quadrado 6x6:

e chegaremos facilmente à distribuição de resultados

Facilmente se encontram contudo duas possibilidades de construir os tais dados equitativos:

 

em que é notório que a distribuição de resultados é uniforme. Qualquer resultado tem a probabilidade 1/12 de acontecer.

E até há uma solução em que um dos dados é o convencional. Quantas soluções diferentes haverá?

5 x 13 x 31

2015 é o produto de três números primos (2015 = 5 x 13 x 31). Se tivermos uma caixinha em forma de cubo para cada um dos anos, podemos arrumá-las todas num paralelepípedo com uma base de 13 x 31 cubos e altura 5 cubos, e chegar facilmente a cada uma calculando o resto da divisão do ano respectivo por 5, 13 e 31 e usando os restos como coordenadas da posição da caixa (figura simplificada).

Nos anos anteriores, 2014 = 2 x 19 x 53, e a arrumação teve de ser em duas camadas de 19 x 53 caixas, num nível as caixas correspondentes a anos pares e no outro as caixas correspondentes a anos ímpares, e 2013 = 3 x 11 x 61, pelo que as caixas puderam ser arrumadas em 3 camadas de 11 x 61 caixas.
Em 2012, a arrumação foi um pouco mais difícil, pois há dois factores repetidos e um muito grande, 2012 = 2 x 2 x 503, o que dá 4 filas de 503 caixas, e em 2011 só houve uma maneira de arrumar as caixas: numa fila de 2011 (2011 = 1 x 1 x 2011).
2011 é um número primo.
Aparentemente, este ciclo terá uma forte relação com a nossa crise económica e com os factores que a podem controlar, e é de notar que evoluímos de uma longa fila de 2011 caixas (um factor primo) para uma arrumação cada vez mais compacta (3 factores primos, não muito grandes).
E como será daqui para a frente?
Bem, 2016 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 7, o que dá uma multiplicidade de combinações, como já sabemos, mas o pior é que 2017 é outra vez um número primo, sem arrumação compacta possível.
Lá virá outra vez a longa fila...