Dois dados equitativos

O Público de ontem pergunta-nos se será possível numerar as faces de dois dados de modo que as somas das faces variem entre 1 e 12 e sejam todas igualmente prováveis.
Com dois dados normais, os 6x6 = 36 resultados possíveis não são igualmente prováveis. Basta listá-los todos e contá-los. Podemos utilizar um quadrado 6x6:

e chegaremos facilmente à distribuição de resultados

Facilmente se encontram contudo duas possibilidades de construir os tais dados equitativos:

 

em que é notório que a distribuição de resultados é uniforme. Qualquer resultado tem a probabilidade 1/12 de acontecer.

E até há uma solução em que um dos dados é o convencional. Quantas soluções diferentes haverá?