Modelos matemáticos e contágios

Numa população, um elemento infectado pode provocar uma epidemia, ou não.
Se o contágio se fizer por contacto físico (social), os principais parâmetros a considerar serão o número de contactos (por dia) e a probabilidade de um contacto provocar um contágio.
Outros parâmetros importantes, serão o tempo da infecção, percentagem de casos letais, e se os sobreviventes ficam vacinados, ou não.
Numa população que se distribui de uma forma não uniforme, em comunidades com hábitos sociais variados, com distribuição geográfica variada, com dados de fiabilidade não comprovada, sugere um grande desafio de modelação e de previsão.
Num grupo uniforme, se, por exemplo, um infectado provocar 2 contágios por dia, aparentemente teremos um crescimento exponencial 1-2-4-8-16-32-64-128-... Será assim? Não parece.
O modelo exponencial só é válido numa população infinita, ou então, em grupos uniformes e enquanto o contágio não atinja valores significativos.
Nesta figura, o ajuste de uma curva exponencial a um caso real, a pandemia Coronavírus em Portugal na data de hoje: (ver código aqui)

Para estes números, parece aceitável a aproximação, que, basicamente, é um modelo recursivo, em que a população infectada no momento n depende apenas da população infectada momento n-1, ou seja, x(n)=Rx(n-1). No exemplo da figura, R=1.28.
Numa população finita, nomeadamente num grupo pequeno, o modelo exponencial tem limites, os valores atingidos não podem aproximar-se do total da população.
É aqui que surge o mapa logístico, mencionado noutro local deste blogue, também um modelo recursivo, mas que tenta reflectir a ideia de que a população infectada no momento n é proporcional à população infectada e à população não infectada no momento n-1, ou seja, x(n)=Rx(n-1)[N-x(n-1)].
Sem perda de generalidade, costuma considerar-se a população total ser 1 e x ser a fracção da população, e não o seu valor absoluto. Nesta figura, uma simulação com x(0)=0.0002 e R=1.28:

A população infectada cresceria muito rapidamente, abrandando para atingir o seu máximo em menos de 40 dias. Mas seriam catastróficos os valores atingidos.

Um modelo tem de ser mais elaborado, não se pode ficar pelo ponto de equilíbrio correspondente à exaustão da população. É necessário entrar em linha de conta com a percentagem de infectados que se tornam imunes, com o tempo de incubação, com a distribuição não uniforme da população, etc.

Curiosamente, estes modelos não andam muito longe dos modelos de influência, de contágio, de propagação de ideias nas redes sociais, desde a política à moda.

A revisitar noutro momento.

O mapa logístico

O mapa logístico é a equação recursiva
     x(n) = rx(n-1)[1-x(n-1)]
com r no intervalo [0, 4] e condição inicial x(0) entre 0 e 1, e costuma ser usado para modelizar crescimentos exponenciais em que se considera a condição de a população ser finita.

A população total é 1 e r representa a taxa de crescimento. Neste exemplo, fizemos x(0) = 0.001 e r=1.04, isto é, um milésimo da população afectada e taxa de crescimento 4%.

Uma propriedade desta equação é que, para r no intervalo [1, 2], a população tende para (r-1)/r, independentemente do valor inicial x(0). Neste caso, aproximadamente 0.04.

Para outros valores de r, nomeadamente no intervalo [3,4], esta equação assume um comportamento caótico. Veja-se o caso em que r=3.6

Há muitas situações que podem ser modelizadas pelo mapa logístico, sempre que se misture quem escolhe de acordo com a maioria e quem escolhe de acordo com a minoria: eu escolho um curso porque muitos escolhem e eu não escolho um curso porque muitos escolhem, eu vou pelo caminho A porque a maioria vai e eu não vou pelo caminho A porque a maioria vai, etc.

Estes comportamentos são potencialmente geradores de situações caóticas.
Esta figura muito conhecida mostra o valor para que tende x(n) em função do valor de r

e revela aquele ponto de bifurcação a partir do qual o sistema se torna caótico. Ver, por exemplo, aqui.