Mais passeios aleatórios

Na última publicação, analisamos um problema de passeios aleatórios, que podemos traduzir nesta figura

Distância ao nó 6 (passeio aleatório)

em que temos um grafo com 6 nós e as distâncias que um viajante aleatório colocado num dos outros nós teria de percorrer em média para chegar ao nó 6.

Estes números costumam causar um certo desconforto, por chocarem com a nossa intuição, mas não deixam de ser verdade...

E se os seis nós estivessem em linha? As equações seriam

6 nós em linha

T5 = [1 + (1 + T4)] / 2

T4 = [(1 + T5) + (1 + T3)] / 2

T3 = [(1 + T4) + (1 + T2)] / 2

T2 = [(1 + T3) + (1 + T1)] / 2

T1 = 1 + T2

e eliminado sucessivamente T1, T2, T3 e T4

T2 = [(1 + T3) + (1 + 1 + T2)] / 2

T2 = 3 + T3

T3 = [(1 + T4) + (1 + 3 + T3)] / 2

T3 = 5 + T4

T4 = [(1 + T5) + (1 + 5 + T4)] / 2

T4 = 7 + T5

T5 = [1 + (1 + 7 + T5)] / 2

T5 = 9

e daqui que todas as distâncias que teriam de ser percorridas em média por um viajante colocado num nó de partida qualquer para chegar ao nó 6 serão as indicadas na figura a seguir

Distância ao nó 6 (passeio aleatório)

E se tivermos uma fila com N nós? Que distância teria de percorrer em média um viajante aleatório para vencer essa distância? Será (N - 1)^2?

Outra questão diferente será saber quantas vezes o viajante passou por cada nó, em média. No layout de um museu, ou de um espaço comercial, onde as pessoas se movam com alguma aleatoriedade, esse valor pode ser uma medida da qualidade da sua localização.

Fica o desafio.