A fila mal comportada

Estou no último lugar de uma fila de 100 passageiros com lugares marcados, num avião com 100 lugares. O primeiro da fila (onde é que eu já vi...) senta-se num lugar à sorte! Os passageiros seguintes vão-se sentando nos lugares que lhes estão destinados, e sempre que um deles encontra o lugar já ocupado senta-se também num lugar ainda livre, à sorte. Qual é a probabilidade de eu encontrar o meu lugar livre?

A probabilidade é 50%, como se pode notar por exemplo aqui.
Mas precisamos de fazer contas complicadas para chegar a esta conclusão? Eu diria que não...
Pensemos.
O primeiro passageiro escolhe à sorte um lugar, que pode ser o dele mesmo, e então eu vou sentar-me no meu, que pode ser o meu, e então eu vou trocar com ele, ou que pode ser o de um terceiro passageiro.
Neste último caso, todos se vão sentando nos seus lugares, até chegar a vez deste passageiro, que, como encontra o seu lugar ocupado, se vai sentar num lugar à sorte, de entre os livres.
Pode escolher o lugar do primeiro passageiro da fila, que ainda está livre, e então o meu lugar fica garantido, pode escolher o meu lugar, e então vou ficar com o lugar do primeiro passageiro, ou então um dos restantes lugares ainda livres, e a situação repete-se, até acontecer uma das duas situações: ou sai o lugar do primeiro ou sai o meu!
E as probabilidades são exactamente iguais.