Aprender a contar

Contar, contar o número de elementos de um conjunto, o número de vezes que um ciclo se realiza, o número de soluções de um problema, etc. é a Informática de todos os dias. Daí a importância da Matemática Discreta nos planos de estudo de Informática e de Engenharia Informática.
Brincava há alguns dias com um amigo, professor de Matemática no ensino secundário, sobre esta questão, e sobre como este tópico é aí abordado. Tanto quanto percebi, não é tratado autonomamente, mas sim dissimulado no estudo das probabilidades. A ser assim, é mau, por muitas razões.
O problema de partida era muito simples: de quantas maneiras diferentes se podem distribuir dez rebuçados iguais por três taças, admitindo-se que uma ou mais podem ficar vazias?
A solução mais simples para este problema resulta da observação desta figura

Se lermos os rectângulos azuis como separadores e os rectângulos laranja como rebuçados, a figura corresponde à hipótese 2+4+4, e entende-se facilmente que haverá tantas formas diferentes de distribuir os dez rebuçados pelas 3 taças como as de colocar os dois separadores numa fila de 12 elementos.
Como há 12 hipóteses para colocar o primeiro separador e 11 para colocar o segundo, e a ordem dos separadores não conta, há no total 12x11/2 = 66 formas diferentes.
Uma variante deste problema será: de quantas formas diferentes pode um treinador de futebol posicionar os seus 10 jogadores de campo pelas três posições possíveis, defesa, médio e avançado, sabendo que em cada posição têm de jogar pelo menos 2 jogadores?
Neste caso, só há na realidade quatro jogadores livres, que é necessário arrumar pelas 3 posições (2 separadores), pelo que haverá 6x5/2=15 possibilidades diferentes! Ver para crer:

São estas as brincadeiras que nos fazem pensar nos porquês...