Geometrias eleitorais...

A propósito das eleições midterm nos EUA falou-se por lá muito dos arranjos dos círculos eleitorais que elegem os membros do Congresso...
A ideia é sempre, círculo a círculo, "ganhar por pouco ou perder por muito", e para isso as vilas e comunidades são deslocadas entre círculos, de modo a maximizar o número de representantes eleitos.
Neste exemplo simples, há 100 alunos, divididos por 5 turmas de 20, e cada turma elege o seu representante. Supondo que desses 100, 40 são de uma côr e 60 de outra, o mais esperado seria haver dois representantes da côr minoritária e 3 da côr maioritária, mas nem sempre acontece...
Nestes exemplos,

temos um caso em que os vermelhos não elegem um único representante, um caso em que elegem 2 e um caso em que elegem 3, ou seja a maioria!
Esta observação leva a que se pense por vezes que a representação seria melhor por listas para as 5 turmas, em que a lista vermelha elegeria 2 representantes e a azul 3. O problema é que neste caso as turmas não ficariam representadas, não saberiam qual é o seu representante, e o sistema ficaria desvirtuado.
Os ingleses preferem os círculos uninominais, porque valorizam a relação entre eleitos e eleitores, sem a interferência dos partidos, e mantendo o poder sempre na mão dos eleitores.
Eu também!

O problema do coleccionador de cartas

Os supermercados têm o hábito de, em certas alturas, oferecer aos (filhos dos) seus clientes umas cartas para coleccionar. As cartas são oferecidas aleatóriamente, não podendo os clientes escolhê-las.
A questão consiste em saber quantas cartas terá um coleccionador de acumular, em média, para completar a sua colecção.
É um problema semelhante àquele de saber quantos lançamentos de um dado deve uma pessoa fazer, em média, para obter as seis faces. A resposta a esta questão é

que é a soma dos inversos das probabilidades de sair a primeira, a segunda, a terceira, a quarte, a quinta e a sexta faces, respectivamente.
No caso geral de N cartas,

que pode ser um número "assustadoramente" grande. Por exemplo, para 100 cartas, o número é 518.7, ou seja, em média, seria necessário recolher mais de 518 cartas para completar a colecção.
Este processo aleatório caracteriza-se por ter uma cauda longa, isto é, pode acontecer ser necessário esperar um tempo estranhamente longo para obter todos os resultados...
O gráfico seguinte corresponde a 1100 milhões de simulações do jogo dos dados, e houve uma vez em que foram necessários 127 lançamentos para saírem as seis faces!

Entretanto, a moda, o valor mais frequente, foi 11, bem inferior à média de 14.7!
(recordo aqui uma simulação em NetLogo que há uns tempos propus)

Enganos e confusões

Gosto de vez em quando dos Desafios do Público de domingo. Como este:
A Mafalda pediu a dois amigos que lhe calculassem o produto de dois números. A Carlota obteve 41891 e o Alessandro obteve 42168! E porquê? Porque por um lado o primeiro número terminava em 1 mas a Carlota confundiu-o com um 7, e por outro o segundo terminava em 3 mas o Alessandro viu lá um 8.
Quais seriam os números da Isabel?
Se x e y forem os números procurados, sabemos então que
     (x + 6) y = 41891
     x (y + 5) = 42168.
Uma boa tentativa de resolver este problema pode passar por olhar para decomposições em factores destes dois resultados. Começando pelo menor
     41891 = 163 . 257 (única!)
ficamos com duas possibilidades (163, 251) ou (157, 257), e como
     251 . 168 = 42168
concluímos que x = 251 e y = 163.
Resta-nos aguardar pelo veredicto dos autores do desafio...

A ciência das matrizes III

(exclusivamente para não Matemáticos...)
Esta publicação está no seguimento de outra, em que olhamos para os conceitos de matriz identidade e matriz inversa, e revisitamos a regra de multiplicação de matrizes.
Uma matriz é um instrumento perfeito para representar uma relação entre dois conjuntos, por exemplo a relação 'gosto' entre um conjunto de pessoas P e um conjunto de clubes C, aqui representada por esta matriz G,

ou a relação 'fica em' entre em conjunto de clubes C e um conjunto de cidades D, aqui reprsentada pela matriz F,

E o que acontece se multiplicarmos estas duas matrizes? Primeira questão: pode-se? Há aquela regra de o número de colunas da primeira ser igual ao número de linhas da segunda, o que quer dizer que G.F existe, mas F.G, não!

A matriz resultado G.F é uma relação entre pessoas e cidades: 'gosto de n clubes que ficam em'. O Bruno gosta de dois clubes que ficam em Lisboa.
A multiplicação das matrizes conduziu à relação composta F depois de G.

A ciência das matrizes II

(exclusivamente para não Matemáticos...)
Na publicação anterior, vimos como um sistema de três equações a três incógnitas pode ser escrito como uma equação baseada num produto de matrizes A.x = b

Dois conceitos que ajudam a explorar esta situação são o de matriz identidade ou matriz unitária, uma matriz que tem a propriedade de poder ser multiplicada por outra sem a alterar, e o de matriz inversa, uma matriz que multiplicada pela matriz original conduz à matriz identidade.
A matriz identidade terá de ser necessariamente quadrada, tendo em conta a regra da multiplicação, e todos os seus elementos na diagonal principal devem valer 1 e os restantes 0:

Como obter a matriz inversa de uma matriz quadrada fica para depois. Por enquanto, podemos usar uma folha de cálculo para o fazer ...
Uma vez obtida a matriz inversa da matriz A anterior (com um factor em evidência para se trabalhar com inteiros), e verificado que multiplicando-as se obtem a matriz identidade

multiplicando ambos os lados da equação pela matrix inversa

e fazendo as contas

 encontra-se a solução do sistema

Pareceu fácil, mas nem sempre é possível obter a matriz inversa.
Curiosamente, hoje são muito importantes as situações em que não há matriz inversa...

A ciência das matrizes I

(exclusivamente para não Matemáticos...)
As matrizes (bidimensionais) são estruturas numéricas rectangulares que passamos a vida a encontrar nos capítulos mais diversos dos nossos interesses matemáticos.
Uma fotografia digital a preto e branco é uma matriz, cujos elementos são os valores dos respectivos pixeis da ,imagem

A esta imagem com 11x7 linhas corresponde uma matriz com dimensão 11x7:

Podem realizar-se operações com as matrizes. Duas importantes são a transposição, que corresponde a trocar a posição das linhas pela das colunas:

e a multiplicação, bem conhecida dos iniciados, que se faz multiplicando termo a termo a linha i da primeira matriz pela coluna j da segunda, somando as parcelas, e colocando o resultado na posição (i, j) da matriz resultado:

A multiplicação de matrizes permite representar de forma simples sistemas de n equações a n incógnitas. Este é um sistema de 3 equações a 3 incógnitas:

Mas será que isto nos ajuda a resolver este sistema de equações?
Lá chegaremos, mas por agora pensemos que uma matriz pode representar os negócios cruzados entre um conjunto de países, ou as adjacências de um grafo, ou uma cadeia de Markov, ou as ligações entre páginas Web, e que compreender estas estruturas matemáticas pode abrir novas formas de olhar para estes ou outros fenómenos.

Isso é muito chato!

Hoje tentei ensinar a uma jovenzinha qual é o resultado da divisão de um número por zero...
Comecei pelo algoritmo da divisão inteira - quantas vezes do dividendo se pode tirar o divisor - o número de vezes que se pode tirar é o quociente e o que sobra é o resto.
Por exemplo, para dividir 12 por 5, podemos tirar 2 vezes o 5 e sobram 2.

Ou para dividir 12 por 4, podemos tirar 3 vezes o 4 e não sobra nada - divisão exacta.

Estava a começar o caso da divisão por 0, quando sou interrompido por um "Isso é muito chato!" Porquê? "Porque assim a tirar 0 de cada vez nunca mais acaba!"
Missão cumprida...