Placard

Estou a escrever uns minutos antes do Braga - Sporting, da Taça de Liga.
Lembrei-me - acho que pela primeira vez - de ir ver as apostas 1X2 no Placard, que estão em 1.97x, 3.70x e 3.70x, para a vitória do Braga, empate e vitória do Sporting, respectivamente.
Como é obvio, não há maneira garantida de ganhar num jogo destes.
Podemos distribuir o prejuízo, apostando por exemplo 100/1.97 no 1, 100/3.70 no X e também 100/3.70 no 2, e assim, qualquer que seja o resultado, ganhamos 100€.
Mas quanto é que teríamos de gastar para isso? 100/1.97 + 100/3.70 + 100/3.70 = 104.82€, mais do que os 100€, como seria de esperar. Estes 4.82€ seriam o lucro da organização...
Para ganhar, é preciso arriscar, como em tudo na vida...
O Placard não é um jogo de sorte pura, os conhecimentos futebolísticos do apostador têm uma palavra a dizer, o jogador pode apostar em acreditar mais ou menos num determinado resultado do que a média dos apostadores.
Vi agora que o Guimarães - Porto, de amanhã, paga 4.25x, 3.70x e 1.72x.
Se eu estivesse confiante em que o Guimarães não ganharia, poderia apostar 100/3.70 = 27.02€ no X e 100/1.72 = 58.14€ no 2, gastando 85.16€ e ganhando 100€ se um destes dois resultados se verificasse.
Claro que perderia os 85.16€ se o Guimarães ganhasse...

Aqui há mesmo informática...

Há quem considere ser este o mais curto grande artigo científico de sempre:

Não sei se é mesmo assim, mas o curioso é só seria possível escrevê-lo recorrendo a um computador e a uma linguagem de programação.

O computador foi o CDC 6600, da Control Data Corporation, o computador mais veloz do mundo de 1964 até 1969, e a linguagem de programação muito possivelmente terá sido Fortran.

Geometrias eleitorais...

A propósito das eleições midterm nos EUA falou-se por lá muito dos arranjos dos círculos eleitorais que elegem os membros do Congresso...
A ideia é sempre, círculo a círculo, "ganhar por pouco ou perder por muito", e para isso as vilas e comunidades são deslocadas entre círculos, de modo a maximizar o número de representantes eleitos.
Neste exemplo simples, há 100 alunos, divididos por 5 turmas de 20, e cada turma elege o seu representante. Supondo que desses 100, 40 são de uma côr e 60 de outra, o mais esperado seria haver dois representantes da côr minoritária e 3 da côr maioritária, mas nem sempre acontece...
Nestes exemplos,

temos um caso em que os vermelhos não elegem um único representante, um caso em que elegem 2 e um caso em que elegem 3, ou seja a maioria!
Esta observação leva a que se pense por vezes que a representação seria melhor por listas para as 5 turmas, em que a lista vermelha elegeria 2 representantes e a azul 3. O problema é que neste caso as turmas não ficariam representadas, não saberiam qual é o seu representante, e o sistema ficaria desvirtuado.
Os ingleses preferem os círculos uninominais, porque valorizam a relação entre eleitos e eleitores, sem a interferência dos partidos, e mantendo o poder sempre na mão dos eleitores.
Eu também!

O problema do coleccionador de cartas

Os supermercados têm o hábito de, em certas alturas, oferecer aos (filhos dos) seus clientes umas cartas para coleccionar. As cartas são oferecidas aleatóriamente, não podendo os clientes escolhê-las.
A questão consiste em saber quantas cartas terá um coleccionador de acumular, em média, para completar a sua colecção.
É um problema semelhante àquele de saber quantos lançamentos de um dado deve uma pessoa fazer, em média, para obter as seis faces. A resposta a esta questão é

que é a soma dos inversos das probabilidades de sair a primeira, a segunda, a terceira, a quarte, a quinta e a sexta faces, respectivamente.
No caso geral de N cartas,

que pode ser um número "assustadoramente" grande. Por exemplo, para 100 cartas, o número é 518.7, ou seja, em média, seria necessário recolher mais de 518 cartas para completar a colecção.
Este processo aleatório caracteriza-se por ter uma cauda longa, isto é, pode acontecer ser necessário esperar um tempo estranhamente longo para obter todos os resultados...
O gráfico seguinte corresponde a 1100 milhões de simulações do jogo dos dados, e houve uma vez em que foram necessários 127 lançamentos para saírem as seis faces!

Entretanto, a moda, o valor mais frequente, foi 11, bem inferior à média de 14.7!
(recordo aqui uma simulação em NetLogo que há uns tempos propus)

Enganos e confusões

Gosto de vez em quando dos Desafios do Público de domingo. Como este:
A Mafalda pediu a dois amigos que lhe calculassem o produto de dois números. A Carlota obteve 41891 e o Alessandro obteve 42168! E porquê? Porque por um lado o primeiro número terminava em 1 mas a Carlota confundiu-o com um 7, e por outro o segundo terminava em 3 mas o Alessandro viu lá um 8.
Quais seriam os números da Isabel?
Se x e y forem os números procurados, sabemos então que
     (x + 6) y = 41891
     x (y + 5) = 42168.
Uma boa tentativa de resolver este problema pode passar por olhar para decomposições em factores destes dois resultados. Começando pelo menor
     41891 = 163 . 257 (única!)
ficamos com duas possibilidades (163, 251) ou (157, 257), e como
     251 . 168 = 42168
concluímos que x = 251 e y = 163.
Resta-nos aguardar pelo veredicto dos autores do desafio...

A ciência das matrizes III

(exclusivamente para não Matemáticos...)
Esta publicação está no seguimento de outra, em que olhamos para os conceitos de matriz identidade e matriz inversa, e revisitamos a regra de multiplicação de matrizes.
Uma matriz é um instrumento perfeito para representar uma relação entre dois conjuntos, por exemplo a relação 'gosto' entre um conjunto de pessoas P e um conjunto de clubes C, aqui representada por esta matriz G,

ou a relação 'fica em' entre em conjunto de clubes C e um conjunto de cidades D, aqui reprsentada pela matriz F,

E o que acontece se multiplicarmos estas duas matrizes? Primeira questão: pode-se? Há aquela regra de o número de colunas da primeira ser igual ao número de linhas da segunda, o que quer dizer que G.F existe, mas F.G, não!

A matriz resultado G.F é uma relação entre pessoas e cidades: 'gosto de n clubes que ficam em'. O Bruno gosta de dois clubes que ficam em Lisboa.
A multiplicação das matrizes conduziu à relação composta F depois de G.

A ciência das matrizes II

(exclusivamente para não Matemáticos...)
Na publicação anterior, vimos como um sistema de três equações a três incógnitas pode ser escrito como uma equação baseada num produto de matrizes A.x = b

Dois conceitos que ajudam a explorar esta situação são o de matriz identidade ou matriz unitária, uma matriz que tem a propriedade de poder ser multiplicada por outra sem a alterar, e o de matriz inversa, uma matriz que multiplicada pela matriz original conduz à matriz identidade.
A matriz identidade terá de ser necessariamente quadrada, tendo em conta a regra da multiplicação, e todos os seus elementos na diagonal principal devem valer 1 e os restantes 0:

Como obter a matriz inversa de uma matriz quadrada fica para depois. Por enquanto, podemos usar uma folha de cálculo para o fazer ...
Uma vez obtida a matriz inversa da matriz A anterior (com um factor em evidência para se trabalhar com inteiros), e verificado que multiplicando-as se obtem a matriz identidade

multiplicando ambos os lados da equação pela matrix inversa

e fazendo as contas

 encontra-se a solução do sistema

Pareceu fácil, mas nem sempre é possível obter a matriz inversa.
Curiosamente, hoje são muito importantes as situações em que não há matriz inversa...